父亲死亡后，如果继母同意继续抚养孩子，继母可以要求亲生母亲支付抚养费。孩子的亲生母亲不能以继母继承了前夫遗产为由拒绝支付抚养费。如果孩子的亲生母亲想要抚养孩子，也是可以的，不过此时继母无需支付抚养费。
【本文关联的相关法律依据】
《中华人民共和国民法典》
第一千零六十七条父母不履行抚养义务的，未成年子女或者不能生活的成年子女，有要求父母给付抚养费的权利。
成年子女不履行赡养义务的，缺乏劳动能力或者生活困难的父母，有要求成年子女给付赡养费的权利。
第一千零五十夫妻双方平等享有对未成年子女抚养、教育和保护的权利，共同承担对未成年子女抚养、教育和保护的义务。